2510: 弱题
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 419 Solved: 226[][][]Description
有 M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～ N且为整数，标号为 i的球有 ai个，并 保证 Σ ai = M。每次操作 等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/ M），若这个球标号为 k（ k < N），则将它重新标号为 k + 1；若这个球标号为 N，则将其重标号为1。 （取出球后并不将其丢弃）现在你需要求出，经过 K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。Input
第1行包含三个 正整数 N， M， K，表示了标号与球的个数以及操作次数。第2行包含 N个 非负整数 ai，表示初始标号为 i的球有 ai个。Output
应包含 N行，第 i行为标号为 i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。Sample Input
2 3 2 3 0Sample Output
1.667 1.333HINT
【样例说明】
第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。 【数据规模与约定】对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。
题解
首先看题目我们可以猜到这是个概率DP...然后肯定能想到最朴素的做法 ($O(n)$转移期望值然后跑$k$次)
但是紧接着我们发现 $k$ 的范围极大...这时我们可以考虑矩阵乘法优化DP. 推出来的矩阵大概长这样:
\[\begin{bmatrix}
1-\frac{1}{m} & 0 & 0 & \dots & \frac{1}{m}\\ \frac{1}{m} & 1-\frac{1}{m} & 0 & \dots & 0\\ 0 & \frac{1}{m} & 1-\frac{1}{m} & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{m} & 1-\frac{1}{m}\end{bmatrix}\]然后矩阵快速幂跑到 $O(n^3log(k))$ 的复杂度了233
然而我们又发现 $n$ 的范围 $O(n^3)$ 跑不过去...
观察转移矩阵, 我们发现这其实是个循环矩阵, 乘法可以转化成类似卷积的形式, 然后 $O(n^2)$ 求卷积就可以降到 $O(n^2log(n))$ 复杂度了OwO
参考代码
1 #include2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 7 const int MAXN=1010; 8 const int MAXK=1010; 9 10 int n;11 int m;12 int k;13 double x[MAXN];14 double ans[MAXN];15 double a[MAXN]/*[MAXN]*/;16 double b[MAXN]/*[MAXN]*/;17 18 int main(){19 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);20 for(int i=1;i<=n;i++){21 scanf("%lf",ans+i);22 }23 a[1]=1.0-1.0/m;24 a[n]=1.0/m;25 while(k>0){26 if((k&1)==1){27 memcpy(x,ans,sizeof(ans));28 for(int i=1;i<=n;i++){29 ans[i]=0;30 for(int j=1;j<=n;j++){31 ans[i]+=x[j]*a[((j-i+n)%n)+1];32 }33 }34 }35 memset(b,0,sizeof(b));36 for(int i=1;i<=n;i++){37 for(int j=1;j<=n;j++){38 b[i]+=a[((i-j+n)%n)+1]*a[j];39 }40 }41 memcpy(a,b,sizeof(b));42 k>>=1;43 }44 for(int i=1;i<=n;i++){45 printf("%.3lf\n",ans[i]);46 }47 return 0;48 }
